Mathsblog Question (by Hari Govindan)

The picture illustrates a regular hexagon with the side length equal to √3. Quadrilaterals XABC and QPXR are squares . What is the area of the shaded triangle CPS?

The side of the hexagon is square root of 3. So the width (GD) of the hexagon is \[\sqrt 3  \times \sqrt 3  = 3\]

From the right angled triangle ADX, we get, \[\cos 30 = \frac{{AD}}{{AX}}\]This implies \[AX = \frac{{AD}}{{\cos 30}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 1\]Again,\[\sin 30 = \frac{{DX}}{{AX}} \Rightarrow DX = \frac{1}{2}\]Since the side of the equilateral triangle XCP is 1 its altitude \[EX = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]The altitude of the triangle CPS is SF, which is the same as GE (see figure)

But \[GE = GD - (DX + EX) = 3 - \left( {\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}}{2}\]Finally, area of the triangle CPS is\[\frac{1}{2} \times {\rm{base }} \times {\rm{height}} = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{{5 - \sqrt 3 }}{2} = \frac{{5 - \sqrt 3 }}{4}\]

Mathsblog Question ( by Jasmine)

ABCD ഒരു സമചതുരമാണ്. അതിനുള്ളില്‍ P എന്ന ഒരു കുത്തിട്ടിരിക്കുന്നു. PCD-യും PDC-യും 15 ഡിഗ്രി വീതം. ത്രികോണം PAB സമഭുജത്രികോണമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

DP -ക്ക് ലംബമായി AF വരക്കുക.

AF - ല്‍ കോണ്‍ FDG = 60 ഡിഗ്രി ആകത്തക്കവിധം G അടയാളപ്പെടുത്തുക. 

അപ്പോള്‍ കോണ്‍ AGD = 150 ഡിഗ്രി.

കോണ്‍ PDC = കോണ്‍ DPC = 15 ഡിഗ്രി ആയതിനാല്‍, Δ AGD, Δ DPC എന്നിവ സര്‍വസമങ്ങളാണ്.

ഇതില്‍ നിന്നും DP = DG എന്ന് ലഭിക്കും.

Δ DPG - ല്‍ കോണ്‍ FDG = 60 ഡിഗ്രി, കോണ്‍ DGF = 30 ഡിഗ്രി എന്നിങ്ങനെ ആയതിനാല്‍  DF = ½ DP എന്ന് ലഭിക്കുന്നു. അതായത് DF = PF.

ഇതില്‍ നിന്നും AF, DP യുടെ സമഭാജി ആണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

അങ്ങനെയെങ്കില്‍ AD = AP ആയിരിക്കുമല്ലോ. ഇതേപോലെ BC = BP എന്നും തെളിയിക്കാം. എല്ലാംകൂടി കൂട്ടിവായിച്ചാല്‍ AP = BP = AB ആയി.